EL MODULOR
Una de las obras más influyentes en el siglo XX es el modulor el cual fue diseñado por el francés Charles Édouard Jeanneret-Gris, conocido como Le Corbusier.
Su obra se basaba en la relación de las proporciones humanas con el Número Áureo, así las medidas obtenidas de este modo servían para la arquitectura. Posteriormente lo publicaría en el libro “modulor” en el cual hacía referencia a medidas armónicas a escala humana aplicable en la arquitectura y en la mecánica. Con todo ello, lo que hacía era volver a la antigüedad, al haber una relación directa entre las proporciones del hombre y la de los edificios.
Para lo cual tomo como referencia al hombre francés medio de aquella época, el cual tenía una altura media de 1,75 m. posteriomente utilizaría como referencia el hombre británico de unos 6 pies.
Uno de sus mejores ejemplos del modulor es su Unité d’ habitation de Marsella.
A continuación se muestra uno de los bocetos en los cuales plasmaba las ideas del modulor.
THALES DE MILETO
Otro caso interesante relacionado con la proporcionalidad es el de: Thales de Mileto.
Era un filósofo y matemático nacido en Grecia (630 a.C - 546 a.C), fue uno de los siete sabios de Grecia y se le considera el padre de la Geometria.
Uno de sus grandes descubrimientos fue cuando aun habiendo oído hablar de la sabiduría de los egipcios se montó en una barca y se dirigió al Nilo. Allí , en el desierto, un sacerdote le pregunta cuál era la altura de la pirámide del rey Khufú (pirámide de Keops). Thales se tumbó en la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. El sacerdote atónito le preguntó qué estaba haciendo y él le contestó: "Me pondré en un extremo de la línea que marca mi cuerpo en la arena hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante, la sombra de la pirámide, medirá tantos pasos como la altura de ésta" . Por este método y algunos otros como el de los tríangulos incritos en un semicírculo, es por lo que se le considera uno de los padres de la Geometría.
Esta es una de las primeras ideas de la geometría por la cual Thales de Mileto desarrollaría lo que se conoce como "EL TEOREMA DE TALES " ,esencial para la geometría.
Se muestra a continuación su problema fundamental.
Primer Teorema de Thales:
Dice que si cogemos un par de rectas concurrentes y si estas las cortamos con un par de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en el par de rectas concurrentes son proporcionales.
Cuarto Proporcional:
Debemos de establecer la idea de dos triángulos semejantes entre sí, es decir los ángulos iguales y sus lados proporcionales para ello solo hace falta trazar una recta paralela a uno de los lados de un triángulo y obtendremos dos triángulos semejantes. Así la principal aportación de este teorema es la semejanza de triángulos.En ella observamos que el cociente entre los lados a y b (lados pequeños)da lugar al mismo resultado que el cociente entre los lados d y c (lados grandes).
A/B = D/C
Tercio Proporcional
Al igual que en el cuarto proporcional, cuando en una proporción los dos extremos son
iguales, se dice que es Tercio Proporcional a cualquiera de los extremos,verificando la igualdad de A/B = B/X. Media Prorpocional
La media proporcional se da cuando la proporción en la que los extremos de un segmento son iguales entre los extremos que son distintos. con lo que: A/X = X/B
Para hayar este método se pueden aplicar varios métodos:
Teorema de la Altura: en una recta llevamos los segmentos a y b ( uno a continuación del otro), y dibujamos una semicircunferencia de diametro igual a la suma de a + b. Después en el punto C levantamos una perpendicular al diámetro que, al cortar a la curva en el punto D, determina el segmento x que es medio proporcional entre a y b.
Teorema del Cateto:al igual que en el Teorema de la Altura sobre un segmento b llevamos el menor a. A continuación dibujamos una semicircunferencia de diametro el segemento b. Por el punto C levantamos una perpendicular al diámetro que, al cortar a la curva en el punto D, determina un triangulo rectángulo cuyo cateto AD es la media proporcional x que buscamos.
El Segundo Teorema de Thales se basa fundamentalmente en la circunferencia, triangulos rectángulos y ángulos inscritos.
Se muestra una imagen de la fundamentación del segundo teorema:
Con este segundo teorema lo que Thales quería demostrar que la suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:
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El siguiente tema que vamos a desarrollar en la proporcionalidad va a ser el Hombre Vitruvio el cual fue desarrollado por Marcus Vitruvius Pollio, un conocido arquitecto romano del siglo I a.c.,La idea que él plasmo sería desarrollada por Leonardo Da Vinci en el renacimiento y daría lugar a uno de sus dibujos más representativos, el Hombre Vitrurio, el cual se muestra a continuación:
Leonardo Da vinci publicaría un libro en el que narra las proporciones del Hombre Vitruvio, pero las cuales solo eran una reposición de las palabras del arquitecto Vitrubio, aquí se muestra un fragmento de este libro en el que se explican las proporciones del Hombre Vitruvio:
“Vitrubio el arquitecto, dice en su obra sobre arquitectura que la naturaleza distribuye las medidas del cuerpo humano como sigue: que 4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y que 24 palmas hacen un hombre; y estas medidas son las que él usaba en sus edilicios. Si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro».
Leonardo Da Vinci lo único que hizo fue plasmar todo lo anterior en una imagen, la cual serviría de ilustración para su obra. Leonardo Da Vinci tiene una visión especifica del hombre, para él el hombre es como el centro del universo ya que queda encerrado en un cuadrado y en un círculo. El cuadrado representa la base de lo clásico y lo único que hacía era buscar la proporcionalidad del cuerpo humano es decir el ideal de belleza o el canon clásico.
Con todo esto lo que quería mostrar es la búsqueda de una serie de proporciones que fueran aplicables al cuerpo humano, tratando de vincular de algún modo la arquitectura con el cuerpo humano.
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Durante los últimos siglos, creció el mito de que los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción numérica específica, esencial para sus ideales de belleza y geometría. Dicha proporción es conocida con los nombres de razón áurea ó divina proporción. Aunque recientes investigaciones revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta proporción con la estética griega, esta sigue manteniendo un cierto atractivo como modelo de belleza.
Matemáticamente nace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos y que dice así: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor"
Sean los segmentos:
A: el mayor y B el menor, entoces planteando la ecuación es:
A/B =(A+B)/A
Cuando se resuelve se llega a una ecuación de 2do. grado que para obtener la solución hay que aplicar la resolvente cuadrática.
El valor numérico de esta razón, que se simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:
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LA SECCIÓN ÁUREA
Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. En su libro Los Elementos (300 a. C.), Euclides demostró la proporción que Platón había denominado «la sección», y que más tarde se conocería como «sección áurea». Ésta constituía la base en la que se fundaba el arte y la arquitectura griegos; el diseño del Partenón de Atenas está basado en esta proporción. En la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. Los artistas del Renacimiento la empleaban como encarnación de la lógica divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero, años después, el interés por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian (1872-1944) estructuró sus pinturas abstractas según las reglas de la sección áurea.
También conocido como la Divina Proporción, la Media Áurea o la Proporción Áurea, este ratio se encuentra con sorprendente frecuencia en las estructuras naturales así como en el arte y la arquitectura hechos por el hombre, en los que se considera agradable la proporción entre longitud y anchura de aproximadamente 1,618. Sus extrañas propiedades son la causa de que la Sección Áurea haya sido considerada históricamente como divina en sus composiciones e infinita en sus significados. Los antiguos griegos, por ejemplo, creyeron que el entendimiento de la proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios «estaba» en el número.
Sin duda alguna. es cierto que la armonía se puede expresar mediante cifras, tanto en espacios pictóricos o arquitectónicos, como en el reino de la música o, cómo no, en la naturaleza. La armonía de la Sección Áurea o Divina Proporción se revela de forma natural en muchos lugares. En el cuerpo humano, los ventrículos del corazón recuperan su posición de partida en el punto del ciclo rítmico cardiaco equivalente a la Sección Áurea. El rostro humano incorpora este ratio a sus proporciones. Si se divide el grado de inclinación de una espiral de ADN o de la concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se obtiene la Sección Áurea. Y si se mira la forma en que crecen las hojas de la rama de una planta, se puede ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a la de debajo. El ángulo más común entre hojas sucesivas está directamente relacionado con la Sección Áurea.
En arte y la arquitectura también se han usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades armoniosas de a Sección Áurea. 1 las dimensiones de la Cámara Real de la Gan Pirámide se basan en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corhusier diseño su sistema Modulor basándose en la utilización de la proporción áurea, el pintor Mondrian basó la mayoría de sus obras en la Sección Áurea: Leonardo la incluyó en muchas de sus pinturas y Claude Dehussy se sirvió de sus propiedades en la música. La Sección Áurea también surge en algunos lugares inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las postales, las tarjetas de crédito y las fotografías se ajustan por lo común a sus proporciones. Y se han llevado a cabo muchos experimentos para probar que las proporciones de los rostros de las top models se adecuan más estrechamente a la Sección Áurea que las del resto de la población. lo cual supuestamente explica por qué las encontramos bellas.
Luca Pacioli, un amigo de Leonardo da Vinci al que conoció mientras trabajaba en la corte de Ludovico Sforza, duque de Milán, escribió un tratado crucial sobre la Sección Áurea, titulado De divina proportione. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica, aunque lo que él creía era que su esquiva cualidad reflejaba el misterio de Dios. Esta y otras obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo, y ambos se convirtieron en amigos inquebrantables, trabajando incluso juntos sobre problemas matemáticos. El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Como el brillante Pitágoras antes que él, Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Se ha dicho que la gran pintura inacabada de Leonardo, San Jerónimo, que muestra al santo con un león a sus pies, fue pintada en un intencionado estilo para asegurarse de que un rectángulo dorado (véase entrada) encajara perfectamente alrededor de la figura central. Dada la afición de Leonardo por la «geometría recreativa», esto parece una suposición razonable También el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado pertecto.
Después de Leonardo, artistas como Ralaei y Miguel ángel hicieron un eran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel El David se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.
Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Aurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los números.
Información obtenida de : "Wikipedia", planeta sedna libro: "Dibujo Técnico" Antonio L. Blanco
